给任何自然数n，如果n是偶数，除以2；如果n是奇数，将其乘以3并加1。我们称之为数字n的变换。例如，对于数字5，根据上述规则进行变换。
3×5+1=16。
16 ÷ 2=8，通过变换16。
为了继续这种转变，有
8÷2=4，4÷2=2，
2÷2=1，1×3+1=4，
4÷2=2，2÷2=1，
……
有趣的是，对于数字5，它将根据上面要求的规则不断变化，最终显示如下
重复4 → 2 → 1 → 4 → 2 → 1 →等。
你也可以用6为例，按照上面指定的规则进行变换，得到
6→3→10→5→16→8
4→2→1→4→2→1→……
另一个例子是18。
18→9→28→14→7→22→
11→34→17→52→26→13→
40→20→10→5→16→8→
我们发现，在这种特定的变换下，无论哪一个自然数在开始时，最终的结果总是与原来的结果形状相同。
4→2→1→4→2→1循环和重复。
不幸的是，我们不能仅仅列出一系列自然数就断定任何自然数n都有这个性质。事实上，到目前为止，还没有人证明这一点。
在比赛中，我们会遇到一些类似的变换，有时一些指定的变换是对一个数连续进行的，有时一些指定的变换是对一组数连续进行的。在纷乱多变的变化中，隐藏着一些规律，解决这些问题的关键在于通过表面现象从“万变”中揭示“不变”的数量关系。
例1、对于任何两个不同的自然数，较大的数被两个数之间的差所代替，这被称为变换。对于18和42，可以进行这样的连续变换:
18，42→18，24→18，6→12，6→6，6 .
直到两个数字相同。问:从12345和54321的连续变换中得到的两个相同的数是什么？为什么？
解：如果两个数的最大公约数是A，那么这两个数与任意一个数的最大公约数之差也是A。因此，在每次变换过程中，这两个数的最大公约数总是相同的，所以最后两个相同的数是它们的最大公约数。因为12345和54321的最大近似值是3，所以最后两个相同的数字是3。
说明：转换的过程实际上是两个数的最大公约数的除法。
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