一、基本概念和知识
1.质数与合数
一个数除了1和它本身没有其他除数。这个数叫做质数(也叫质数)。
除了1和它本身，一个数还有其他的除数。这个数叫做复合数。
请特别记住:1既不是质数也不是复合数。
2.质因数与分解质因数
如果一个质数是一个数的除数，那么这个质数就是这个数的质因数。
通过乘以质因数来表示一个复合数叫做因式分解质因数。
示例:将30分解成主要因素。
解决方案:30=2× 3× 5。
其中2，3和5被称为30的质因数。
另一个例子是12=2× 2× 3=22× 3，2和3都称为12的素因子。
二、例题
例1三个连续自然数的乘积是210。找到这三个数字。
解决方案:210=2×3×5×7
∳我们知道这三个数字是5，6和7。
例2两个质数之和是40。这两个质数乘积的最大值是多少？
解答:40表示为三种形式的两个质数之和:
40=17 23=11+29=3 37 .
* 17×23=391 > 11×29=319 > 3×37=111 .
∳要求的最大值是391。
这两个质数的最大乘积是391。
例3自然数123456789是质数还是复合数？为什么？
解答:123456789是一个复合数。
因为除了大约1和它自己之外，它至少有大约3，所以它是一个复合数。
例4连续九个自然数中有多少个质数？为什么？
解决方法:如果9个连续的自然数在1和20之间，那么显然最多有4个质数(例如1 ~ 9中的4个质数2、3、5、7)。
如果连续九个自然数中最小的不小于3，那么偶数显然是一个复合数，而奇数最多为5。五个奇数中只有一个数字必须是5，所以5是奇数的一个因子，也就是说，奇数是一个复合数。因此，多达4个奇数是质数。
总而言之，在九个连续的自然数中最多有四个质数。
例5将五个数字5、6、7、14和15分成两组，使每组的乘积相等。
解决方案:5=5，7=7，6=2×3，14=2× 7，15=3×5，
这些数字中有2个质因数2，3，5和7，所以如果你把14
(=2×7)在第一组中，那么7和6(=2×3)只能放在第二组中，那么15 (=3× 5)只能放在第一组中，那么5必须放在第二组中。
所以14×15=210=5×6×7。
这五个数字可以分成两组:14和15，5，6和7。
例6有三个自然数，最大的比最小的大6，另一个是它们的平均数，三个数的乘积是42560。找到这三个自然数。
分析首先粗略估计，30× 30× 30=27，000，远低于42560.40× 40× 40=64，000，远高于42560。因此，所需的三个自然数在30和40之间。
解决方案:42560=26×5×7×19
=25×(5×7)×19×2
=32× 35× 38
所需的三个自然数分别是32、35和38。
例7有三个自然数a、b和c，已知a×b=6，b×c=15。
A × c=10。什么是a×b×c？
解决方案:6=2× 3，15=3×5，10=2× 5。
(a×b)×(b×c)×(a×c)
=(2×3)×(3×5)×(2×5)
∴a2×b2×c2=22×32×52
∴(a×b×c)2=(2×3×5)2
a×b×c=2×3×5=30
在实例7中，A2=22，b2=32，c2=52，其中22=4，32=9，52=25，诸如4、9和25的数字被一般化。我们称自然数平方得到的数为完整的平方数或平方数。
例如，12=1，22=4，32=9，42=16，112=121，122=144，其中1，4，9，16，121，144，都被称为完全正方形。
让我们来看看将一个完整的平方数分解成素因子后素因子指数的特征。
例如，以下完美方块被分解成质因数:
9，36，144，1600，275625 .
解决方案:9=32 36=22×32 144=32×24
1600=26×52 275625=32×54×72
可以看出，一个完整的平方数分解质因数后，每个质因数的指数都是偶数。
相反，如果一个自然数被分解成质因数，并且每个质因数的指数是偶数，那么自然数必须是一个完整的平方数。
在上例中，36=62，144=122，1600=402，275625=5252。
例8整数A和1080的乘积是一个完整的平方数。找出A的最小值和这个平方数。
a与1080的乘积是一个完整的平方数。
∴产品分解质因数后，每个质因数的指数必须都是偶数。
解决方案:1080× a=23× 33× 5× a。
在≥1080=23×33×5的素因子分解中，所有素因子的指数都是奇数。
∴a必须包含2、3和5的质因数，所以a至少是2×3×5。
∴1080×a=1080×2×3×5=1080×30=32400。
答:A的最小值是30，总平方数是32400。
360中有多少个除数？
分析360=23×32×5。
为了找出360中有多少除数，我们首先看32x5中有多少除数，然后将所有这些除数分别乘以1、2、22和23，得到23x32× 5 (=360)的所有除数。为了找出32x5中有多少除数，我们可以先找出5中有多少除数，然后将这些除数分别乘以1、3和32，得到32x5的所有除数。
解答:注释5的除数是Y1，
32x5的除数是Y2，
360(=23×32×5)的近似值是Y3。从以上分析可以看出:
Y3=4×Y2，Y2=3×Y1，
显然Y1=2(5只有1和5的两个除数)。
所以y3=4x2=4x3x1=4x3x2=24。
所以360有24个除数。
注:Y3=4×Y2中的“4”是“1，2，22，23”中的数，即2加1的最大指数，即360中的素数因子2=23×32×5加1；Y2=3×Y1中的“3”是“1，3，32”的个数，即23×32×5中的素因子3的个数加1；而Y1=2中的“2”是“1，5”的数目，即23×32×5中的素因子5的数目加上1。因此
Y3=(3+1)×(2 1)×(1 1)=24 .
对于任何一个复合数，我们都可以得到一个重要的结论，即找到一个复合数的除数，就像讨论23×32×5(=360)的除数一样:
一个复合数的除数等于其素因子分解公式(即指数)中每个素因子数的乘积加上1的乘积。
例10找出240的除数。
解决方案:240=24× 31× 51，
∴240的除数是
(4+1)×(1 1)×(1+1)=20，
∴240有20个除数。
请列出240的所有除数，再数一遍，看看它们是否是20。
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整理五年级奥林匹克数学知识点(第一卷):素数、复合数和分解素因子(543千字节)
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